Brahim Amghar

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Affiche du document Mécanique du solide indéformable Tome 5 - La dynamique du solide

Mécanique du solide indéformable Tome 5 - La dynamique du solide

Brahim Amghar

3h48min45

  • Sciences formelles
305 pages. Temps de lecture estimé 3h49min.
Ce cinquième manuel consacré à la dynamique du solide indéformable se compose de deux parties. La première partie, Notes de cours, met l’accent sur les notions de torseur d’efforts extérieurs et de théorèmes généraux dans un référentiel galiléen. On y aborde ensuite l’étude des puissances galiléennes développées par les efforts extérieurs appliqués à un système et on termine par la notion d’intégrale première du mouvement. Quant à la deuxième partie, Problèmes corrigés, elle est entièrement consacrée aux problèmes dont la solution est volontairement détaillée. Les problèmes sont répartis en trois planches graduées. La première intitulée « Pour commencer » comporte des problèmes de base qui sont généralement des applications directes du cours. La deuxième planche nommée « Pour s’exercer » propose des problèmes qui nécessitent plus de réflexion. Enfin, la troisième et dernière planche baptisée « Pour approfondir » propose des problèmes beaucoup plus ardus et beaucoup plus complexes.Avant-propos 1Partie A : notes de cours 71 Référentiels galiléens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Torseur des actions extérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Principe fondamental de la dynamique (PFD) . . . . . . . . . . . . . . . 133.1 Théorèmes généraux de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Théorème de la résultante dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Théorème du moment dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Équations du mouvement − Intégrale première du mouvement . ..153.5 Intégrale première du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . 164 Théorème de l’action et de la réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Puissance et travail d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.1 Puissance d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Cas d’un solide indéformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.1 Forces conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Énergie potentielle de pesanteur ou de gravitation . . . . . . . . 206.3 Énergie potentielle élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.1 Cas d’un solide indéformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.2 Cas de deux solides (S1) et (S2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.3 Cas d’un système (Σ) de n solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.4 Énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.5 Intégrale première de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . 268 Dynamique des solides en contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.1 Lois de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.2 Réaction normale ⃗N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.3 Réaction tangentielle ⃗ T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Liaisons parfaites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Partie B : problèmes corrigés 53Planche 1 : problèmes pour comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Problème 1 : mouvement d’un disque sur un plan . . . . . . . . . . . . . 55Problème 2 : mouvement d’une tige sur un axe fixe . . . . . . . . . . . . . 64Problème 3 : mouvement d’une plaque carrée autour d’une tige . . . . . . 73Problème 4 : oscillations d’un pendule double . . . . . . . . . . . . . . . . 79Problème 5 : mouvement d’un pendule en forme de demi-disque . . . . . 90Problème 6 : pendule pesant composé d’un disque et d’une tige . . . . . . 97Problème 7 : mouvement d’un disque à l’intérieur d’un cerceau . . . . . . 106Problème 8 : système composé d’une tige soudée à un disque . . . . . . . 115Planche 2 : problèmes pour s’exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Problème 1 : mouvement d’un système pendulaire . . . . . . . . . . . . . 125Problème 2 : plaque ayant la forme d’un triangle équilatéral . . . . . . . . 134Problème 3 : système composé d’un hémisphère et d’une tige . . . . . . . 139Problème 4 : système soumis à l’effet gyroscopique . . . . . . . . . . . . . 148Problème 5 : mouvement d’un culbuto conique . . . . . . . . . . . . . . . 156Problème 6 : oscillations d’un demi-cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Problème 7 : mouvement d’un culbuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Problème 8 : mouvement d’un cerceau d’enfant . . . . . . . . . . . . . . . 183Planche 3 : problèmes pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Problème 1 : mouvement d’une barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Problème 2 : mouvement d’une plaque rectangulaire . . . . . . . . . . . . 207Problème 3 : mouvement d’un cône plein homogène . . . . . . . . . . . . 214Problème 4 : mouvement d’un culbuto cylindrique . . . . . . . . . . . . . 223Problème 5 : mouvement d’une demi-sphère soudée à une tige . . . . . . 237Problème 6 : mouvement d’une sphère à l’intérieur d’un profil circulaire . 253Problème 7 : mouvement de deux barres articulées . . . . . . . . . . . . . 263Problème 8 : mouvement d’un jouet d’enfant sur une pente . . . . . . . . 269Annexes 281Annexe 1 : résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282Annexe 2 : fiches de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286Annexe 3 : diagrammes synoptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288Bibliographie 291Index alphabétique 299
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Affiche du document Mécanique du solide indéformable Tome 4 - La cinétique du solide

Mécanique du solide indéformable Tome 4 - La cinétique du solide

Rachid Mesrar

3h10min30

  • Sciences formelles
254 pages. Temps de lecture estimé 3h10min.
Ce quatrième manuel consacré à la cinétique du solide se compose de deux parties. La première partie, Notes de cours, met l’accent sur les notions clés de torseur cinétique, de torseur dynamique, d’énergie cinétique et de théorème de Koenig. Par ailleurs, la notion de principe de conservation de la masse est introduite et les relations, entre les grandeurs cinétique et dynamique sont établies. Quant à la deuxième partie, Problèmes corrigés, elle est entièrement consacrée aux problèmes dont la solution est volontairement détaillée. Les problèmes sont répartis en trois planches graduées. La première intitulée « Pour commencer » comporte des problèmes de base qui sont généralement des applications directes du cours. La deuxième planche nommée « Pour s’exercer » propose des problèmes qui nécessitent plus de réflexion. Enfin, la troisième et dernière planche baptisée « Pour approfondir » propose des problèmes beaucoup plus ardus et beaucoup plus complexes.Avant-propos 1Partie A : notes de cours 51 Torseur cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1 Principe de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Torseur cinétique d’un ensemble matériel . . . . . . . . . . . . . . 102 Torseur dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1 Torseur dynamique d’un ensemble matériel . . . . . . . . . . . . . 123 Relation entre les torseurs cinétique et dynamique . . . . . . . . . . . . 143.1 Relation entre les résultantes cinétique et dynamique . . . . . . 143.2 Relation entre les moments cinétique et dynamique . . . . . . . . 144 Moment cinétique d’un solide en l’un de ses points . . . . . . . . . . . . 155 Énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.1 Énergie cinétique d’un système matériel . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Expression de l’énergie cinétique en fonction des torseurs cinématique et cinétique . . . . . 175.3 Énergie cinétique d’un solide indéformable . . . . . . . . . . . . . 186 Éléments cinétiques d’un système de solides . . . . . . . . . . . . . . . . 206.1 Torseur cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.2 Torseur dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.3 Énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Partie B : problèmes corrigés 39Planche 1 : problèmes pour comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Problème 1 : mouvement d’une tige filiforme . . . . . . . . . . . . . . . . 41Problème 2 : mouvement d’un pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . 45Problème 3 : mouvement d’un pendule double . . . . . . . . . . . . . . . 50Problème 4 : mouvement d’une plaque carrée autour d’une tige . . . . . . 60Problème 5 : disque en mouvement dans un cerceau . . . . . . . . . . . . 68Problème 6 : mouvement d’un chasse-neige . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Problème 7 : mouvement d’un manège . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Problème 8 : mouvement d’un quart de disque autour d’une barre . . . . 90Planche 2 : problèmes pour s’exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Problème 1 : mouvement d’un disque soudé à une tige . . . . . . . . . . . 96Problème 2 : mouvement d’un système pendulaire . . . . . . . . . . . . . 103Problème 3 : mouvement d’un disque articulé à une tige . . . . . . . . . . 110Problème 4 : système composé d’un coulisseau, d’un disque et d’une tige 119Problème 5 : système composé d’un cylindre, d’une tige et d’une sphère . 129Problème 6 : système composé d’une tige et d’un disque en rotation . . . 135Problème 7 : mouvement d’une meule à l’huile . . . . . . . . . . . . . . . 143Problème 8 : système articulé barres-disque . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Planche 3 : problèmes pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Problème 1 : mouvement d’un triangle équilatéral autour d’une tige . . . 158Problème 2 : système composé d’une tige et d’un demi-disque . . . . . . . 163Problème 3 : mouvement d’un culbuto cylindrique . . . . . . . . . . . . . 171Problème 4 : mouvement d’un culbuto conique . . . . . . . . . . . . . . . 180Problème 5 : mouvement d’une toupie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Problème 6 : mouvement d’une plaque carrée solidaire d’une tige . . . . . 198Problème 7 : mouvement d’un système pendulaire complexe . . . . . . . . 206Problème 8 : assemblage constitué d’une tige et deux disques . . . . . . . 212Annexes 227Annexe 1 : résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Annexe 2 : fiches de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Annexe 3 : diagrammes synoptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Bibliographie 239Index alphabétique 247
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Affiche du document Mécanique du solide indéformable Tome 3 - La géométrie des masses

Mécanique du solide indéformable Tome 3 - La géométrie des masses

Brahim Amghar

2h28min30

  • Sciences formelles
198 pages. Temps de lecture estimé 2h28min.
Ce troisième manuel consacré à la géométrie des masses se compose de deux parties. La première partie, Notes de cours, met l’accent sur les notions importantes de centre de masse, de matrice d’inertie, de symétrie matérielle, de base principale d’inertie et de moment d’inertie par rapport à un axe quelconque. Par ailleurs, les deux théorèmes de Guldin, celui de Huygens et celui de Koenig sont énoncés et illustrés par des applications pédagogiques ciblées.Quant à la deuxième partie, Problèmes corrigés, elle est entièrement consacrée aux problèmes dont la solution est volontairement détaillée. Les problèmes sont répartis en trois planches graduées. La première intitulée « Pour commencer » comporte des problèmes de base qui sont généralement des applications directes du cours. La deuxième planche nommée « Pour s’exercer » propose des problèmes qui nécessitent plus de réflexion. Enfin, la troisième et dernière planche baptisée « Pour approfondir » propose des problèmes beaucoup plus ardus et beaucoup plus complexes.Table des matièresAvant-propos 1Partie A : notes de cours 71 Centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Système continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Système discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Système composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Propriété de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Théorèmes de Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 Applications pédagogiques supplémentaires . . . . . . . . . . . . 232 Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe . . . . . . . . . . . . 282.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Signification physique du moment d’inertie . . . . . . . . . . . . . 292.3 Calcul de I(S/Δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Signification physique des produits d’inertie . . . . . . . . . . . . 313 Matrice d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1 Opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Matrice d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Expression du moment d’inertie en fonction de la matrice d’inertie 373.4 Base principale d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 Symétries matérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 Quadrique d’inertie-Ellipsoïde d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.1 Quadrique d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2 Ellipsoïde d’inertie : interprétation géométrique de la matrice d’inertie . . .. . . . . . . . . . . . 535 Matrice d’inertie d’un système composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Partie B : problèmes corrigés 63Planche 1 : problèmes pour comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Problème 1 : demi-cerceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Problème 2 : quart de cerceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Problème 3 : deux barres perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Problème 4 : plaque ayant la forme d’un disque . . . . . . . . . . . . . . . 73Problème 5 : plaque rectangulaire mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Problème 6 : plaque ayant la forme d’un demi-disque . . . . . . . . . . . 79Problème 7 : plaque ayant la forme d’un quart de disque . . . . . . . . . 82Problème 8 : plaque ayant la forme d’un quart d’ellipse . . . . . . . . . . 87Planche 2 : problèmes pour s’exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Problème 1 : huitième de sphère pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Problème 2 : ellipsoïde plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Problème 3 : plaque ayant la forme d’un triangle équilatéral . . . . . . . . 97Problème 4 : calotte sphérique creuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Problème 5 : plaque ayant la forme d’un triangle rectangle . . . . . . . . 103Problème 6 : demi-sphère pleine (demi-boule) . . . . . . . . . . . . . . . . 108Problème 7 : calotte parabolique pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Problème 8 : cône homogène plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Planche 3 : problèmes pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Problème 1 : demi-cylindre plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Problème 2 : demi-cône plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Problème 3 : système composé d’un cylindre plein et d’une demi-boule . . 127Problème 4 : système composé d’un cône plein et d’une demi-boule . . . . 132Problème 5 : calotte sphérique pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Problème 6 : système composé d’une calotte sphérique et d’un cylindre . 145Problème 7 : tore creux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Problème 8 : tore plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Annexes 159Annexe 1 : résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Annexe 2 : fiches de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Annexe 3 : diagrammes synoptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Table des matières 5Bibliographie 183Index alphabétique 191
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Affiche du document MÉCANIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE Tome 2 – La cinématique du solide

MÉCANIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE Tome 2 – La cinématique du solide

Brahim Amghar

2h33min00

  • Sciences formelles
204 pages. Temps de lecture estimé 2h33min.
Ce deuxième manuel consacré à la cinématique du solide indéformable se compose de deux parties.La première partie, Notes de cours, met l’accent sur la notion importante de torseur cinématique, essentielle à la description et à l’analyse du mouvement d’un solide. Les notions de paramétrage, d’angles d’Euler, d’axe instantané de rotation, de cinématique de contact et de vitesse de glissement y sont détaillées et illustrées par des applications pédagogiques ciblées.Quant à la deuxième partie, Problèmes corrigés, elle est entièrement consacrée aux problèmes dont la solution est volontairement détaillée. Les problèmes sont répartis en trois planches graduées. La première intitulée « Pour commencer » comporte des problèmes de base qui sont généralement des applications directes du cours. La deuxième planche nommée « Pour s’exercer » propose des problèmes qui nécessitent plus de réflexion. Enfin, la troisième et dernière planche baptisée « Pour approfondir » propose des problèmes beaucoup plus ardus et beaucoup plus complexes.Avant-propos 1Partie A : notes de cours 71 Paramétrage d’un solide - Angles d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Repérage d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Angles d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Expression du vecteur instantané de rotation . . . . . . . . . . . 161.4 Méthode pratique – Technique du W . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Dérivation composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1 Dérivée d’un vecteur de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Changement de base de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Solide indéformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Repère lié au solide indéformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Équiprojectivité du champ des vitesses d’un solide indéformable 283.4 Torseur cinématique - Relation de Varignon . . . . . . . . . . . . 293.5 Axe instantané de rotation et de glissement (AIRG) . . . . . . . 303.6 Surfaces axoïdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.7 Équivalence solide - repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.8 Champ des accélérations d’un solide – Formule de Rivals . . . . 334 Mouvements particuliers d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1 Mouvement de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Mouvement de rotation autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . . . 354.3 Mouvement général d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Composition des mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1 Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Composition des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3 Composition des vecteurs instantanés de rotation . . . . . . . . . 405.4 Composition des torseurs cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . 416 Cinématique de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1 Les trois points I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.2 Vitesse de glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.3 Glissement, pivotement, roulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Partie B : problèmes corrigés 55Planche 1 : problèmes pour comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Problème 1 : mouvement d’une barre rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Problème 2 : mouvement d’un pendule simple et d’un pendule double . . 60Problème 3 : mouvement d’une demi-boule en contact avec un plan fixe. 65Problème 4 : mouvement d’un pendule double . . . . . . . . . . . . . . . 69Problème 5 : mouvement d’un disque sur un axe . . . . . . . . . . . . . . 73Problème 6 : mouvement d’un système pendulaire . . . . . . . . . . . . . 76Problème 7 : système articulé barres et disque . . . . . . . . . . . . . . . 79Problème 8 : mouvement d’un disque dans un cerceau . . . . . . . . . . . 82Planche 2 : problèmes pour s’exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Problème 1 : mouvement d’un cerceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Problème 2 : mouvement d’une plaque carrée autour d’une tige . . . . . . 90Problème 3 : mouvement d’une barre inclinée . . . . . . . . . . . . . . . . 95Problème 4 : mouvement d’une tige soudée à une plaque carrée . . . . . 101Problème 5 : mouvement d’une plaque rectangulaire munie d’une barre . 103Problème 6 : mouvement d’un culbuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Problème 7 : mouvement d’un plateau circulaire . . . . . . . . . . . . . . 114Problème 8 : mouvement d’un système composé d’un disque et d’une tige 117Planche 3 : problèmes pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Problème 1 : assemblage constitué d’une tige et deux disques . . . . . . . 124Problème 2 : mouvement d’un disque sur un support fixe . . . . . . . . . 130Problème 3 : mouvement d’un cône de révolution . . . . . . . . . . . . . 135Problème 4 : étude de différents mouvements d’une nacelle . . . . . . . . 142Problème 5 : mouvement d’un cône . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Problème 6 : mouvement d’un disque en contact avec deux plans parallèles154Problème 7 : mouvement d’une toupie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Problème 8 : mouvement d’une meule à l’huile . . . . . . . . . . . . . . . 166Annexes 173Annexe 1 : résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Annexe 2 : fiches de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Annexe 3 : diagrammes synoptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Bibliographie 191Index alphabétique 199
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Affiche du document MÉCANIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE Tome 1 – Les torseurs

MÉCANIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE Tome 1 – Les torseurs

Rachid Mesrar

1h48min00

  • Sciences formelles
144 pages. Temps de lecture estimé 1h48min.
Ce premier manuel consacré à l’étude des torseurs se compose de deux parties.La première partie, Notes de cours, met l’accent sur l’atout mathématique appelé torseur. Ce dernier joue un rôle central dans la modélisation de la mécanique du solide et présente le principe fondamental de la dynamique sous une forme particulièrement concise. Les notions d’invariants (scalaire et vectoriel), de torseurs particuliers (glisseur et couple) ainsi que la notion d’axe central y sont présentées. Quant à la deuxième partie, Problèmes corrigés, elle est entièrement consacrée aux problèmes dont la solution est volontairement détaillée. Les problèmes sont répartis en trois planches graduées. La première intitulée « Pour commencer » comporte des problèmes de base qui sont généralement des applications directes du cours. La deuxième planche nommée « Pour s’exercer » propose des problèmes qui nécessitent plus de réflexion. Enfin, la troisième et dernière planche baptisée « Pour approfondir » propose des problèmes beaucoup plus ardus et beaucoup plus complexes.Avant-propos 1Partie A : notes de cours 71 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Application linéaire symétrique et antisymétrique . . . . . . . . . 161.3 Opérateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Division vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Champ central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Champ antisymétrique (ou champ de moments) . . . . . . . . . . 283.5 Champ équiprojectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.6 Théorème de Delassus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.7 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Éléments de réduction - Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Opérations sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.1 Égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 Produit ou comoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.4 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Invariants d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.1 Invariant scalaire ou automoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2 Invariant vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Axe central d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.2 Pas d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.3 Moment central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.4 Équation vectorielle de l’axe central . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.5 Interprétation géométrique – Représentation graphique de l’axe central . .. . . . . . . . . . . . . . 417.6 Détermination analytique de l’axe central . . . . . . . . . . . . . 427.7 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 Torseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.1 Torseur glisseur ou torseur à résultante . . . . . . . . . . . . . . . 468.2 Torseur couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.3 Torseur nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488.4 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 Décomposition d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.1 Décomposition canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.2 Décomposition centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5110 Interprétation géométrique - Origine du mot torseur . . . . . . . . . . . 5211 Classification des torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5312 Torseur associé à un ensemble de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 5313 Torseur associé à une densité de vecteurs ⃗ f(M) . . . . . . . . . . . . . 5514 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Partie B : problèmes corrigés 61Planche 1 : problèmes pour comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Problème 1 : équation vectorielle et axe central d’un torseur . . . . . . . 63Problème 2 : moment et axe central d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . 64Problème 3 : comoment de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Problème 4 : somme de trois glisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Problème 5 : somme de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Problème 6 : somme de trois vecteurs glissants . . . . . . . . . . . . . . . 70Problème 7 : somme de cinq glisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Problème 8 : torseur défini par un champ de moments . . . . . . . . . . . 74Planche 2 : problèmes pour s’exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Problème 1 : détermination de la résultante d’un torseur . . . . . . . . . 78Problème 2 : champ de moments dépendant d’un paramètre . . . . . . . 80Problème 3 : somme de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Problème 4 : résultante et axe central d’un torseur . . . . . . . . . . . . . 83Problème 5 : champ équiprojectif et axe central d’un torseur . . . . . . . 84Problème 6 : somme de trois glisseurs acte-I . . . . . . . . . . . . . . . . 86Problème 7 : somme de trois glisseurs acte-II . . . . . . . . . . . . . . . . 88Problème 8 : combinaison linéaire de deux torseurs . . . . . . . . . . . . 90Planche 3 : problèmes pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Problème 1 : champ équiprojectif et axe central d’un torseur . . . . . . . 95Problème 2 : torseur somme de trois vecteurs glissants acte-I . . . . . . . 98Problème 3 : torseur somme de trois vecteurs glissants acte-II . . . . . . 101Problème 4 : décomposition centrale d’un torseur . . . . . . . . . . . . . 103Problème 5 : somme de deux torseurs acte-I . . . . . . . . . . . . . . . . 104Problème 6 : somme de deux torseurs acte-II . . . . . . . . . . . . . . . . 106Problème 7 : produit et somme d’un glisseur et d’un couple . . . . . . . . 110Problème 8 : somme et produit de deux glisseurs . . . . . . . . . . . . . . 114Annexes 117Annexe 1 : résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Annexe 2 : fiches de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Annexe 3 : diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Bibliographie 131Index alphabétique 139
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