Mécanique du solide indéformable Tome 3 - La géométrie des masses

198 pages. Temps de lecture estimé 2h28min.
Ce troisième manuel consacré à la géométrie des masses se compose de deux parties. La première partie, Notes de cours, met l’accent sur les notions importantes de centre de masse, de matrice d’inertie, de symétrie matérielle, de base principale d’inertie et de moment d’inertie par rapport à un axe quelconque. Par ailleurs, les deux théorèmes de Guldin, celui de Huygens et celui de Koenig sont énoncés et illustrés par des applications pédagogiques ciblées.Quant à la deuxième partie, Problèmes corrigés, elle est entièrement consacrée aux problèmes dont la solution est volontairement détaillée. Les problèmes sont répartis en trois planches graduées. La première intitulée « Pour commencer » comporte des problèmes de base qui sont généralement des applications directes du cours. La deuxième planche nommée « Pour s’exercer » propose des problèmes qui nécessitent plus de réflexion. Enfin, la troisième et dernière planche baptisée « Pour approfondir » propose des problèmes beaucoup plus ardus et beaucoup plus complexes.Table des matièresAvant-propos 1Partie A : notes de cours 71 Centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Système continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Système discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Système composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Propriété de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Théorèmes de Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 Applications pédagogiques supplémentaires . . . . . . . . . . . . 232 Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe . . . . . . . . . . . . 282.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Signification physique du moment d’inertie . . . . . . . . . . . . . 292.3 Calcul de I(S/Δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Signification physique des produits d’inertie . . . . . . . . . . . . 313 Matrice d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1 Opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Matrice d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Expression du moment d’inertie en fonction de la matrice d’inertie 373.4 Base principale d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 Symétries matérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 Quadrique d’inertie-Ellipsoïde d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.1 Quadrique d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2 Ellipsoïde d’inertie : interprétation géométrique de la matrice d’inertie . . .. . . . . . . . . . . . 535 Matrice d’inertie d’un système composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Partie B : problèmes corrigés 63Planche 1 : problèmes pour comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Problème 1 : demi-cerceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Problème 2 : quart de cerceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Problème 3 : deux barres perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Problème 4 : plaque ayant la forme d’un disque . . . . . . . . . . . . . . . 73Problème 5 : plaque rectangulaire mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Problème 6 : plaque ayant la forme d’un demi-disque . . . . . . . . . . . 79Problème 7 : plaque ayant la forme d’un quart de disque . . . . . . . . . 82Problème 8 : plaque ayant la forme d’un quart d’ellipse . . . . . . . . . . 87Planche 2 : problèmes pour s’exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Problème 1 : huitième de sphère pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Problème 2 : ellipsoïde plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Problème 3 : plaque ayant la forme d’un triangle équilatéral . . . . . . . . 97Problème 4 : calotte sphérique creuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Problème 5 : plaque ayant la forme d’un triangle rectangle . . . . . . . . 103Problème 6 : demi-sphère pleine (demi-boule) . . . . . . . . . . . . . . . . 108Problème 7 : calotte parabolique pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Problème 8 : cône homogène plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Planche 3 : problèmes pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Problème 1 : demi-cylindre plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Problème 2 : demi-cône plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Problème 3 : système composé d’un cylindre plein et d’une demi-boule . . 127Problème 4 : système composé d’un cône plein et d’une demi-boule . . . . 132Problème 5 : calotte sphérique pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Problème 6 : système composé d’une calotte sphérique et d’un cylindre . 145Problème 7 : tore creux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Problème 8 : tore plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Annexes 159Annexe 1 : résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Annexe 2 : fiches de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Annexe 3 : diagrammes synoptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Table des matières 5Bibliographie 183Index alphabétique 191